-- Esercizio 1 --
-- r : {(3t, t-1, 2t-2) | t in R}
U := [3, 1, 2]; -- vettore direzionale di r

-- (a)
V := [1, 1, 1];
-- l'angolo theta che v forma con r e' l'angolo formato da u e v.
-- Il coseno di theta si ottiene dalla formula u*v = |u|*|v|*cos(theta)
-- quindi
--   cos(theta) = (3+2+1)/(sqrt(9+1+4)*sqrt(3)) = 6/sqrt(42)

-- (b)
-- calcolo la retta per P e Q: vettore direzionale (P-Q) = (1,0,1)
-- s : {(t+0, 1, t+0) | t in R}
-- calcolo una rappresentazione cartesiana per s
-- s : { y-1 = 0
--     { x-z = 0
-- verifico: le coordinate di P e Q risolvono il sistema

-- calcolo il fascio di piani passante per s (quindi per P e Q)
Use Q[a,b, x,y,z];
a * (y-1) + b* (x-z);  -- bx + ay - bz - a
-- vettore ortogonale al piano generico del fascio:
W := [b, a, -b];
-- impongo che sia ortogonale a u (e quindi il piano e' parallelo a r)
-- (b, a, -b)*(3,1,2) = b + a = 0
-- Le infinite soluzioni diverse da (0,0) rappresentano tutte lo stesso piano.
-- Scelgo la soluzione (a,b)=(-1,1)

-- Conclusione:
--   il piano x-y-z+1 = 0  e' parallelo a r e passa per P e Q
-- verifico
ScalarProduct([1,-1,-1], U); -- 0 ==> parallelo a r
1-1-1+1; -- 0 ==> passa per P
0-1-0+1; -- 0 ==> passa per Q

-- (b)
-- piano generico perpendicolare a r, quindi a u: 3x+y+2z+a = 0
-- impongo il passaggio per Q: 1+a=0
-- quindi esiste un unico piano perp a r e passante per Q: 3x+y+2z-1 = 0
-- verifico se passa per P:
3+1+2-1; -- 5 ==> non passa per P

-- Conclusione:
-- non esiste un piano perpendicolare a r passante per P e Q

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-- Esercizio 2 --
U := [30, 0, 40];
-- (a)
V := [1, 1, 1];
-- devo trovare tutti i vettori ortogonali a u e v
-- Sia w=(x,y,z).  Impongo che u*w=0 e v*w=0 e risolvo il sistema:
C := Mat([
	 [ 1, 1,  1, 0],
	 [30, 0, 40, 0]
	 ]);
E1:=Identity(2);  E1[2,1]:=-30;  E1*C;
--   [1, 1, 1, 0],
--   [0, -30, 10, 0]
E2:=Identity(2);  E2[2,2]:=-1/30;  E2*E1*C;
--   [1, 1, 1, 0],
--   [0, 1, -1/3, 0]
E3:=Identity(2);  E3[1,2]:=-1;  E3*E2*E1*C;
--   [1, 0, 4/3, 0],
--   [0, 1, -1/3, 0]
-- Scelgo z=t, parametro libero, e moltiplico per 3
Use Q[t];
Sol := Mat([[-4t],[t],[3t]]);
-- verifico
A := Submat(C, [1,2], [1,2,3]);  A;
A*Sol;
-- i vettori ortogonali a u e v sono { (-4, t, 3t) | t in R}

-- (a)
V := [1, 1, 1];
-- devo trovare i vettori ortogonali a u con seconda coordinata 2
-- Sia w=(x,y,z).  Impongo che u*w=0 e y=2 e risolvo il sistema:
C := Mat([
	 [30, 0, 40, 0],
	 [ 0, 1,  0, 2]
	 ]);
-- Scelgo z=t, parametro libero, e moltiplico per 3
Sol := Mat([[-4t],[2],[3t]]);
-- verifico
A := Submat(C, [1,2], [1,2,3]);  A;
A*Sol;
-- i vettori ortogonali a u con seconda coordinata 2
--   sono { (-4t, 2, 3t) | t in R}

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-- Esercizio 3 --

Use Q[a,b, k];
A := Mat([ [1,a],  [a,4] ]);
B := Mat([ [a], [b] ]);
C := MatConcatHor(A,B); C;
E1 := Identity(2); E1[2,1]:=-a; E1; E1*A;
-- Mat([
--   [1, a],
--   [0, -a^2 + 4]
-- ])

-- (a)
-- A e' invertibile se e solo se il suo determinante e' diverso da 0.
-- Det(A) = 4 - a^2, quindi
--   A e' invertibile per ogni a diverso da 2 e -2.

-- (b)
-- I sistemi Ax=b hanno soluzione se A e' invertibile (e la soluzione e' unica)
-- Devo considerare i casi a=2 e a=-2
-- a=2

C2 := Subst(E1*C, [[a,2]]);  C2;
-- Mat([
--   [1, 2, 2],
--   [0, 0, b - 4]
-- ])
-- Conclusione:
--   esistono sistemi che non hanno soluzioni: per esempio se a=2 e b=0 

-- (c)
-- il sistema con a=2 e b=4 ha infinite soluzioni { (2-2k, k) | k In R }
-- verifico:
A24 := Subst(A, [[a,2], [b,4]]);  A24;
B24 := Subst(B, [[a,2], [b,4]]);  B24;

Sol := Mat([ [2-2k], [k] ]);
A24 * Sol = B24;   -- True

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-- Esercizio 4 --
A := Mat([
	 [1, 1, -2],
	 [1/2, 0, 0],
	 [0, 0, 1/2]
	 ]);
-- (a)
E1:=Identity(3);  E1[2,1]:=-1/2;  E1*A;
--   [1, 1, -2],
--   [0, -1/2, 1],
--   [0, 0, 1/2]
-- e' triangolare superiore
E2:=Identity(3);  E2[2,2]:=-2;    E2*E1*A;
E3:=Identity(3);  E3[3,3]:=2;     E3*E2*E1*A;
--   [1, 1, -2],
--   [0, 1, -2],
--   [0, 0, 1]
-- riduzione all'indietro
E4:=Identity(3);  E4[2,3]:=2;  E4*E3*E2*E1*A;
E5:=Identity(3);  E5[1,3]:=2;  E5*E4*E3*E2*E1*A;
E6:=Identity(3);  E5[1,2]:=-1; E6*E5*E4*E3*E2*E1*A;

-- Conclusione:
--   l'inversa di A e'
InvA := E6*E5*E4*E3*E2*E1;  InvA;
--   [0, 2, 0],
--   [1, -2, 4],
--   [0, 0, 2]
-- verifico:
A*InvA = Identity(3); -- True

-- (b)
U := E1*A;
-- trovo l' inversa della matrice elementare E1:
Inv1:=Identity(3);  Inv1[2,1]:=1/2;  Inv1*E1;
L := Inv1;
-- Conclusione:
-- la decomposizione LU e' data da
L;
--   [1, 0, 0],
--   [1/2, 1, 0],
--   [0, 0, 1]
U;
--   [1, 1, -2],
--   [0, -1/2, 1],
--   [0, 0, 1/2]
-- verifico
A = L*U; --True