-- ESERCIZIO 1 -- -- Siano dati il piano pi di equazione 2x+y+z = 0 -- e il punto A(3,1,0) nello spazio reale. -- Determinare -- (a) il piano pi' passante per A e parallelo a pi; -- (b) il simmetrico del punto A rispetto a pi; -- (c) il piano passante per A e per B(1,1,1) perpendicolare a pi; -- (d) le due sfere di raggio 3 tangenti a pi nell'origine delle coordinate. Use QQ[x,y,z,s,t]; ------------------------------------------------------------ -- (a) il piano pi' passante per A e parallelo a pi; V := [2,1,1]; V; A := [3,1,0]; A; -- pi' parallelo a pi ha equazione 2x+y+z+d = 0 -- impongo il passaggio per A ScalarProduct(V,A); -- quindi 7+d = 0 -- Conclusione: pi': 2x+y+z-7 = 0 e' il piano per A e parallelo a pi ------------------------------------------------------------ -- (b) il simmetrico del punto A rispetto a pi; -- rappresentazione parametrica della retta per A e perpendicolare a pi: Q:=t*V+A; Q; --> [2*t +3, t +1, t] -- intersezione di pi e la retta: proiezione ortogonale ScalarProduct(V,Q) + 0; --> 6*t +7 = 0 ==> t=-7/6 Q := subst(Q,[[t,-7/6]]); Q; --> [2/3,-1/6,-7/6] -- simmetrico di A rispetto a Q S := 2*Q - A; S; --> [-5/3, -4/3, -7/3] -- conclusione: [-5/3, -4/3, -7/3] e' il punto simmetrico di A rispetto a pi -- verifico: wedge((A-S), V); -- (A-S) e' perp a pi (1/2)*(A+S) = Q; -- Q e' punto medio di AS ScalarProduct(V,Q) +0; -- Q appartiene a pi ------------------------------------------------------------ -- (c) il piano passante per A e per B(1,1,1) perpendicolare a pi; -- forma parametrica del piano passante per A e parallelo a V e a (A-B) B := [1,1,1]; Q := A + t*(A-B) + s*V; Q; --> [2*s +2*t +3, s +1, s -t] -- conclusione: pi': (2*s +2*t +3, s +1, s -t) e' il piano per A e B e perp a pi -- verifico: subst(Q, [[t,0], [s,0]]) = A; --> true subst(Q, [[t,-1], [s,0]]) = B; --> true ScalarProduct(wedge((A-B),V), V); --> 0 perpendicolari ------------- OPPURE ----------------------------------- -- calcolo il fascio di piani per A e B e cerco il piano perpendicolare a pi -- eq. cartesiana della retta r per A e B: vett perp a (A-B) W := (A-B); W; --> [2, 0, -1] V1 := [1, 0, 2]; ScalarProduct(W,V1); --> 0 OK! V2 := [0, 1, 0]; ScalarProduct(W,V2); --> 0 OK! ScalarProduct([x,y,z]-A, V1); --> x +2*z -3 = 0 ScalarProduct([x,y,z]-A, V2); --> y -1 = 0 -- fascio di piani per r: t*ScalarProduct([x,y,z]-A, V1) + s*ScalarProduct([x,y,z]-A, V2); --> y*s +x*t +2*z*t -s -3*t -- vettore ortogonale al piano generico del fascio: t*V1 + s*V2; --> [t, s, 2*t] -- impongo la perpendicolarita' a V ScalarProduct([t, s, 2*t], V); --> s +4*t = 0 -- quindi per s=-4, t=1 ho il piano cercato: Subst(y*s +x*t +2*z*t -s -3*t, [[s,-4], [t,1]]); --> x -4*y +2*z +1 = 0 -- conclusione: pi': x -4*y +2*z +1 = 0 e' l'eq del piano per A e B e perp a pi -- verifico: Eval(x -4*y +2*z +1, A); --> 0 passa per A Eval(x -4*y +2*z +1, B); --> 0 passa per B ScalarProduct([1, -4, 2], V); --> 0 perp a pi ------------------------------------------------------------ -- (d) le due sfere di raggio 3 tangenti a pi nell'origine delle coordinate. -- i centri C1 e C2 delle sfere devono essere tali che: -- - d(C1,C2) = 6 -- - O punto medio di C1 C2 -- - (C1-C2) perpendicolare a pi (parallelo a V) -- punto generico della retta per O e perpendicolare a pi O := [0,0,0]; Q := t*V + O; Q; --> [2*t, t, t] -- impongo che la distanza da O sia 3 ScalarProduct(Q-O, Q-O); --> 6*t^2 -- quindi 6t^2 = 3^2, allora t^2 = 3/2 --> t = sqrt(6)/2, -sqrt(6)/2 -- C1 := [sqrt(6), sqrt(6)/2, sqrt(6)/2] -- C2 := [-sqrt(6), -sqrt(6)/2, -sqrt(6)/2] -- verifico: -- ScalarProduct((C1-C2), (C1-C2)) = 4*6 +6 +6 = 36 = 6^2 -- O = (1/2)*(C1-C2) quindi e' punto medio di C1 C2 -- (C1-C2) = sqrt(6)*(2,1,1) quindi e' parallelo a V ---------------------------------------------------------------------- -- ESERCIZIO 2 -- R ::= QQ[a,b,c]; K := NewFractionField(R); Use K; A := Mat(K,[[0, 0, 2, 1, 1], [2, -3, 1, -3,1/3], [-1,3/2,5/2, 3,4/3], [3, 2, -1, 0, 1]]); --a Trovare la forma totalmente ridotta di A e scrivere la -- soluzione generale del sistema lineare omogeneo di cui A \`e la -- matrice dei coefficienti. --b Trovare la dimensione e una base del sottospazio V = {x In RR^5 | Ax = 0} --c Trovare una base di RR^5 che estende la base di V trovata al punto prec. --d Trovare un sottospazio W di RR^5 di dimensione 3 tale che dim(VintW)=1 ------------------------------------------------------------ -- (a) forma totalmente ridotta E1:=IdentityMat(K,4); SwapRows(ref E1,3,1); E1*A; E2:=IdentityMat(K,4); E2[1,1]:=-1; E2*E1*A; E3:=IdentityMat(K,4); E3[2,1]:=-2; E3*E2*E1*A; E4:=IdentityMat(K,4); E4[4,1]:=-3; E4*E3*E2*E1*A; -- [1, -3/2, -5/2, -3, -4/3], -- [0, 0, 6, 3, 3], -- [0, 0, 2, 1, 1], -- [0, 13/2, 13/2, 9, 5] E5:=IdentityMat(K,4); SwapRows(ref E5,4,2); E5*E4*E3*E2*E1*A; E6:=IdentityMat(K,4); E6[2,2]:=2/13; E6*E5*E4*E3*E2*E1*A; E7:=IdentityMat(K,4); E7[3,3]:=1/2; E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*A; E8:=IdentityMat(K,4); E8[4,3]:=-6; E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*A; -- [1, -3/2, -5/2, -3, -4/3], -- [0, 1, 1, 18/13, 10/13], -- [0, 0, 1, 1/2, 1/2], -- [0, 0, 0, 0, 0] -- riduzione all'indietro AScal := E8*E7*E6*E5*E4*E3*E2*E1*A; E9:=IdentityMat(K,4); E9[1,2]:=3/2; E9*AScal; E10:=IdentityMat(K,4); E10[1,3]:=1; E10*E9*AScal; E11:=IdentityMat(K,4); E11[2,3]:=-1; E11*E10*E9*AScal; -- questa e' la forma totalmente ridotta di A -- [1, 0, 0, -11/26, 25/78], -- [0, 1, 0, 23/26, 7/26], -- [0, 0, 1, 1/2, 1/2], -- [0, 0, 0, 0, 0] -- soluzione generale del sistema lineare omogeneo -- prendo le ultime 2 indeterminate come parametri liberi a e b quindi Sol := ColMat(K, [(11/26)*a-(25/78)*b, (-23/26)*a-(7/26)*b, -a/2-b/2, a, b]); -- verifico: A*Sol; --> 0 0 0 0 ------------------------------------------------------------ -- (b) Trovare la dimensione e una base di V = {x In RR^5 | Ax = 0} -- V = { Sol | a,b in RR } -- per trovare una base pongo a=1 e b=0, poi b=1 e a=0 V1 := [11/26, -23/26, -1/2, 1, 0]; V2 := [-25/78, -7/26, -1/2, 0, 1]; -- verifico: A*ColMat(K,V1); --> 0 A*ColMat(K,V2); --> 0 -- (V1, V2) generano V e sono linearmente indipendenti perche' -- [(11/26)*a-(25/78)*b, (-23/26)*a-(7/26)*b, -a/2-b/2, a, b] = [0,0,0,0,0] ==> -- ==> a=0 e b=0 -- Conclusione: (V1, V2) e' base di V e dim(V)=2 ------------------------------------------------------------ -- (c) Trovare una base di RR^5 che estende (V1, V2) -- scelgo i primi tre vettori della base canonica: E1 := [1,0,0,0,0]; E2 := [0,1,0,0,0]; E3 := [0,0,1,0,0]; -- (V1, V2, E1, E2, E3) sono linearmente indipendenti perche' -- se a V1 +b V2 +c E1 +d E2 +e E3 = [0,0,0,0,0] allora -- [..,..,..,a,b] = [0,0,0,0,0] ==> a=0, b=0 -- [c,d,e,0,0] = [0,0,0,0,0] ==> c=d=e=0 -- 5 vettori linearmente indipendenti in RR^5 formano una base di RR^5 -- Conclusione (V1, V2, E1, E2, E3) e' una base di RR^5 ------------------------------------------------------------ -- (d) Trovare un sottospazio W di dimensione 3 tale che dim(V int W)=1 -- dalla base trovata in (c) scelgo 1 vettore in V e 2 non in V: -- V1, E1, E2 sono linearmente indipendenti (visto in (c)) -- quindi W = ha dimensione 3. -- dim(V int W) = dim(V) + dim(W) - dim(V+W) = 2 + 3 - dim(V+W) -- dim(V+W) = dim() = dim() = 4 -- perche' V1, V2, E1, E2 sono linearmente indipendenti (visto in (c)) -- Conclusione: dim(W) = 3 e dim(V int W) = 2+3-4 = 1