%Se una matrice ha rango massimo i vettori formati dalle colonne della matrice %sono linearmente indipendenti %ESEMPIO v1 = [1 0 2]'; v2 = [2 1 1]'; v3 = [1 2 0]'; %Costruiamo la matrice che ha come colonne v1 v2 v3 A = [v1 v2 v3]; %Calcoliamo il rango di A rank(A) ans = 3 %Il rango di A è 3, quindi è massimo e v1 v2 v3 sono linearmente indipendenti %Tramite MATLAB possiamo anche calcolare i coefficienti che descrivono un vettore %come combinazione lineare di tre vettori linearmente indipendenti %ESEMPIO v1 = [1 1 0]'; v2 = [0 1 1]'; v3 = [1 0 1]'; %Verifichiamo che i tre vettori siano linearmente indipendenti A = [v1 v2 v3]; rank(A) ans = 3 %Il rango di A è massimo quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti %Per valutare i coefficienti k1 k2 k3 che realizzano un vettore v come %combinazione lineare di v1, v2 e v3 dobbiamo risolvere il sistema Ak = v %utilizzando il comando \ di MATLAB v = [1 1 1]'; k = A \ v k = 0.5000 0.5000 0.5000 %ESERCIZIO 1 %Dati w1=[1 1 0 4], w2=[3 1 2 0], w3=[1 1 1 0] e W = span(w1,w2,w3) trovare dimW %La dimensione di W è pari al rango della matrice che ha come colonne w1,w2,w3 w1 = [1 1 0 4]'; w2 = [3 1 2 0]'; w3 = [1 1 1 0]'; W = [w1 w2 w3]; rank(W) ans = 3 %Possiamo concludere che la dimensione di W è 3 %Dimostrare che w1 = [1 1 0], w2 = [0 1 1] e w3 = [1 2 1] sono linearmente dipendenti %e scrivere una combinazione lineare nulla con coefficienti non nulli w1 = [1 1 0]'; w2 = [0 1 1]'; w3 = [1 2 1]'; W = [w1 w2 w3]; rank(W) ans = 2 %Il rango di W non è massimo quindi i tre vettori sono linearmente dipendenti %Dato n = [0 0 0]' è possibile trovare una combinazione lineare nulla con coefficienti %non nulli risolvendo il sistema Wk = n %Per risolvere il sistema NON POSSO utilizzare il comando \ (la matrice W non) %è invertibile) ma posso utilizzare il comando rref sulla matrice completa [W n] n = [0 0 0]'; rref([W n]) ans = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 %Dal risultato ottenuto concludo che tutte le triple del tipo (t,t,-t) %forniscono una combinazione lineare nulla dei vettori w1 w2 w3 %Dopo aver dimostrato che w1 = [1 2 5], w2 = [2 2 4], w3 = [1 1 4] sono %linearmente indipendenti, esprimere il vettore w = [3 3 3] come combinazione %lineare di w1, w2, w3 w1 = [1 2 5]'; w2 = [2 2 4]'; w3 = [1 1 4]'; W = [w1 w2 w3]; rank(W) ans = 3 %Il rango di W è massimo, pertanto i tre vettori sono l.i. e formano una base %per R3 %Per esprimere w come c.l. di w1 w2 w3 risolvo il sistema Wk = w w = [3 3 3]'; k = W \ w k = 0 2.2500 -1.5000 %Vettori ortogonali %due vettori sono ortogonali se v1'*v2 == 0 %si dicono ortonormali se norm(v) == 1 % Per trovare gli autovalori di una matrice in MATLAB si utilizza il comando eig % ava = eig(A) restituisce un vettore contenente gli autovalori di A %[V D]= eig(A) restituisce in V la matrice che ha come colonne gli autovettori di A %e in D una matrice diagonale contenente gli autovalori di A %ESEMPIO A = [1 3 4;3 1 0;4 0 1] A = 1 3 4 3 1 0 4 0 1 ava = eig(A) ava = -4.0000 1.0000 6.0000 [V D]=eig(A) V = 0.7071 0.0000 0.7071 -0.4243 -0.8000 0.4243 -0.5657 0.6000 0.5657 D = -4.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 6.0000 %Una matrice nxn si dice diagonalizzabile se ha n autovettori linearmente indipendenti %In particolare una matrice simmetrica è diagonalizzabile %ESERCIZIO %Sia A = [7 0 0;8 -4 2;1 5 2], considerare A'A e dire se tale matrice è diagonalizzabile %N.B. Ogni matrice del tipo A'A è simmetrica (A'A)=(AA') A = [7 0 0; 8 -4 2; 1 5 2] A = 7 0 0 8 -4 2 1 5 2 A'*A ans = 114 -27 18 -27 41 2 18 2 8 %A'A è simmetrica, quindi è diagonalizzabile %Trovare la matrice P che la diagonalizza %P è la matrice contenente gli autovettori di A'A [V D]=eig(A'*A) V = -0.2054 0.2587 -0.9439 -0.2002 0.9329 0.2993 0.9580 0.2504 -0.1398 D = 3.7233 0 0 0 34.0500 0 0 0 125.2267 V'*(A'*A)*V ans = 3.7233 -0.0000 -0.0000 -0.0000 34.0500 0.0000 -0.0000 0.0000 125.2267 %La matrice ottenuta è diagonale