(Laurea Specialistica: Il corso è utilizzabile per 5 crediti, di tipo F).
Prerequisiti. Omotopia, omologia simgolare, teoria ordinaria delle categorie.
Organizzazione. Il corso durerà 30 ore. La data d'inizio sarà fissata successivamente.
PRESENTAZIONE
La Topologia Algebrica Diretta studia strutture - gli 'spazi diretti' - dove i cammini e le omotopie sono, generalmente, non reversibili. Puo' quindi modellizzare e studiare fenomeni non reversibili, in vari campi: dalla fisica, alla biologia, all'informatica; attualmente, le applicazioni più sviluppate riguardano quest'ultima, e in particolare la teoria dei sistemi concorrenti.
Gli 'spazi diretti' sono studiati mediante strumenti algebrici che conservano, in qualche forma, le direzioni privilegiate, come i gruppi preordinati d'omologia diretta e le n-categorie fondamentali.
In questo modo, la Topologia Algebrica Diretta è legata allo studio delle categorie di dimensione superiore, in modo più chiaro della Topologia Algebrica ordinaria (dove uno spazio topologico produce dei gruppoidi d'omotopia). E può anche fornire un'intuizione geometrica a questo studio, che è pure molto recente e complesso.
PROGRAMMA Provvisorio
0. Introduzione
1. Omotopia e simmetrie in Topologia Algebrica classica
2. Spazi inequilogici e topologia algebrica diretta
3. Omotopia diretta di spazi inequilogici; applicazioni
4. Modelli standard di spazi diretti
5. Omologia diretta
6. Quozienti formali come spazi equilogici ed inequilogici
7. Tori noncommutativi
8. Relazioni con la geometria noncommutativa
9. Categorie e omotopia diretta
10. Modellare la categoria fondamentale
11. Calcolo di modelli
12. Categorie monoidali, bicategorie
13. Categorie doppie
14. n-categorie
15. La 2-categoria fondamentale
16. Modellare le 2-categorie
17. Assiomi per la topologia algebrica diretta (DAT)
18. Pullback e pushout omotopici (diretti)
19. Sequenze di fibrazione e cofibrazione
20. Cenni ad altre strutture per DAT: d-spazi, insiemi cubici, algebre graduate differenziali.