a.a. 2013/14, secondo semestre, 2 crediti.
Docente: Marco Grandis
PREREQUISITI: Algebra Lineare, Analisi Matematica 1.
PRESENTAZIONE
Si parte dalle strutture algebriche introdotte nei corsi suddetti, per precisarle e fornire idee sulle strutture algebriche astratte e sulla loro presenza in vari campi della matematica, dell'informatica e della fisica; e anche sui loro legami con la logica matematica.
Date le dimensioni ridotte del corso, alcuni argomenti vengono solo accennati.
MODALITÀ D'ESAME: Una prova scritta di un'ora ed una prova orale breve.
PROGRAMMA 1. Campi ed anelli. Richiami sul campo ordinato dei numeri reali. Il campo razionale e l'anello degli interi. Definizione di gruppo, anello e campo. Richiami sugli anelli di matrici quadrate a coefficienti reali; matrici invertibili. Anelli di matrici quadrate a coefficienti interi, razionali, o in un anello unitario. Matrici invertibili. Anelli di funzioni e matrici di funzioni. Il campo complesso e matrici a coefficienti complessi. 2. Spazi vettoriali. Spazi vettoriali su un campo. Applicazioni lineari e isomorfismi; nuclei. Richiami sui sistemi lineari. Spazi vettoriali di funzioni e di funzioni polinomiali; derivazione. Basi e dimensione, basi infinite. Cenni alle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e ai loro spazi di soluzioni. 3. Gruppi. Gruppi simmetrici; tavole di composizione. Primi elementi di teoria dei gruppi abeliani: omomorfismi, sottogruppi, quozienti, primo teorema di omomorfismo. Il gruppo degli interi modulo n e il gruppo delle radici n-esime complesse di 1. Cenni ai moduli sugli anelli commutativi unitari. Il gruppo lineare generale a coefficienti reali; il sottogruppo ortogonale e ortogonale speciale. Gruppi di traslazioni. 4. Complementi. Cenni a reticoli e algebre di Boole; i legami con la logica. Strutture algebriche e omomorfismi. TESTI CONSIGLIATI: Frank Ayres, Theory and problems of modern algebra, Schaum, McGraw-Hill, 1965.SPIEGAZIONI: Lunedì ore 15-18. E ogni pomeriggio, compatibilmente con gli altri impegni.