Laurea in Matematica                     a.a. 2009/10, I semestre

Corso di GEOMETRIA 1

CONTENUTI: Topologia Generale.

PREREQUISITI: Geometria Analitica.
Raccomandati: Algebra Lineare, Analisi Matematica I.

PRESENTAZIONE E MOTIVAZIONI

    La Topologia Generale tratta lo studio degli "spazi topologici" e delle applicazioni continue tra queste. La nozione di continuità è nota dai corsi di Analisi Matematica, nell'ambito delle funzioni reali di una o più variabili reali. Ma risulta utile estenderla ad insiemi arbitrari, muniti di una "struttura topologica" che consente di individuare gli "intorni" dei punti; un insieme munito di questa struttura si dice spazio topologico. La struttura topologica può essere prodotta da una distanza, come avviene per gli spazi euclidei Rⁿ: la loro topologia usuale è determinata dalla distanza euclidea.
    Tra le proprietà più importanti degli spazi topologici ci sono la connessione e la compattezza; alcuni aspetti di queste, nell'ambito delle funzioni reali continue, sono già noti agli studenti attraverso il Teorema degli Zeri ed il Teorema di Weierstrass. Altro problema importante in Topologia, spesso non banale, è distinguere gli spazi a meno di "omeomorfismo": due spazi si dicono "omeomorfi" se esiste tra questi un'applicazione continua, biiettiva, la cui inversa sia continua.
    Ad esempio, il Teorema di Invarianza della Dimensione dice che gli spazi euclidei R^m ed Rⁿ sono omeomorfi solo se m = n; questo risultato è alla base della nozione topologica di dimensione. La dimostrazione è abbastanza semplice per m = 1 o n = 1, ma richiede strumenti più complessi per il caso generale. Si può effettuare con metodi di Topologia Algebrica, che riconducono problemi topologici (il precedente e molti altri) a problemi algebrici, spesso più elementari e risolubili; questi metodi sono argomento di corsi successivi e qui potranno solo essere accennati.

PROGRAMMA

0. Introduzione. Continuità e omeomorfismi negli Rⁿ, esempi.
1. Spazi metrici. Generalità; la metrica euclidea, altri esempi, sottospazi metrici; dischi aperti e chiusi; sottoinsiemi aperti e chiusi; metriche topologicamente equivalenti; applicazioni continue e omeomorfismi; caratterizzazioni mediante gli aperti; applicazioni uniformemente continue e lipschitziane.
2. Spazi topologici. Definizione; la topologia indotta da una metrica, la topologia euclidea; confronto di topologie; sottospazi; basi di aperti e sistemi fondamentali di intorni; assiomi di numerabilità.
3. Sottoinsiemi di uno spazio. Chiusi; interno, chiusura e frontiera; parti dense, spazi separabili; punti di accumulazione; convergenza delle successioni, primi cenni alla proprietà di Hausdorff.
4. Applicazioni continue. Generalità; il caso metrico; omeomorfismi; applicazioni aperte e chiuse.
5. Sottospazi. Generalità; sottospazi notevoli di Rⁿ; continuità su sottospazi e ricoprimenti.
6. Prodotti cartesiani. Prodotto di spazi e proprietà universale; il toro; relazioni con: continuità, basi di aperti, chiusi, sottospazi, intorni, convergenza di successioni, metriche. Prodotti infiniti. La topologia della convergenza puntuale.
7. Quozienti. Relazioni d'equivalenza e parti sature. La topologia quoziente; fattorizzazione canonica di un'applicazione; relazioni tra quozienti e sottospazi, quozienti e prodotti. Alcuni quozienti del quadrato: toro, sfera, nastro di Möbius, bottiglia di Klein.
8. Spazi di Hausdorff e altre proprietà di separazione. Gli spazi T2. Cenni agli spazi T1, T0, regolari e normali. Proprietà della diagonale.
9. Connessione. Generalità; i connessi di R; prodotto di spazi connessi; le componenti connesse di uno spazio; distinzione di spazi non omeomorfi mediante proprietà di connessione. Connessione locale. Connessione per archi.
10. Compattezza. Generalità; il teorema di Tychonoff (dimostrato solo nel caso finito); i compatti di Rⁿ. Compattificazioni. Spazi localmente compatti; il compattificato di Alexandrov; compattificazioni del piano. Gli spazi proiettivi. Cenni alle varietà topologiche. Spazi sequenzialmente compatti e numerabilmente compatti. Sottospazi relativamente compatti.
11. Complementi sugli spazi metrici. Completezza e completamento degli spazi metrici. Cenni alle caratterizzazioni degli spazi metrici compatti e al numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di un compatto metrico.
12. Cenni all'omotopia e al gruppo fondamentale di uno spazio. Omotopia di applicazioni continue; equivalenza omotopica di spazi. Il gruppo fondamentale; proprietà funtoriali; invarianza omotopica. Il gruppo di un prodotto cartesiano. Esempi e applicazioni.

Alcuni temi di seminari (Temi al di fuori del programma, che possono essere trattati in seminari facoltativi)
Gruppi topologici. Varietà topologiche. Approfondimenti sul gruppo fondamentale di uno spazio. Il Lemma di Zorn, sue applicazioni in algebra (ad es.: ideali massimali, basi degli spazi vettoriali) e in topologia (il teorema di Tychonoff nel caso infinito). Caratterizzazioni degli spazi metrici compatti. Contrazioni e punti fissi negli spazi metrici.

TESTI DI CONSULTAZIONE

- E. Carletti, Dispense di "Geometria 1", complementi, esercizi:
indice

- E. Sernesi, Geometria 2, Bollati-Boringhieri, 1994.

- V. Checcucci - A. Tognoli - E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Feltrinelli, 1968.

- K. Janich, Topologia, Zanichelli, 1994.

MODALITA' D'ESAME

    L'esame comprende una prova scritta e una prova orale. La prima può essere sostituita dalla media di due prove, di cui una svolta durante il corso.

SPIEGAZIONI:   Lunedì ore 15-18. E ogni pomeriggio, compatibilmente con le altre lezioni e gli impegni occasionali.