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#####  Da eserciziari usati da ER al Politecnico, acknowledgment as due 
#####  to the stat and prob group at Politecnico di Torino

##### Test chiquadro

## Un dado viene lanciato 120 volte ottenendo i seguenti risultati
## Verificare che il dado e' equilibrato
## Eseguire un testi di bonta' di adattamento ad una legge uniforme
pt<- rep(1/6,6) 
x<-c(1:6) ## valori
co<-c(25,17,15,23,24,16) ## vettore conteggio osservato 

chisq.test(co,p=pt)
help(chisq.test)

## Determinare il valore della statistica test
ca<- 120*pt
sum( (co-ca)^2/ca )
## e calcolare il p-value
1-pchisq(5,5) #probabilita' che una chi-quadro a 5 gradi di liberta' sia maggiore di sqrt( sum (co-ca)^2/ca )

###### ESERCIZIO: Da un'inchiesta su 320 famiglie con 5 figli risulta
# 5 M e 0 F 18
# 4 M e 1 F 56
# 3 M e 2 F 110
# 2 M e 3 F 88
# 1 M e 4 F 40
# 0 M e 5 F 8
    Si può concludere che le nascite di maschi e femmine tra le famiglie con 5 figli siano equiprobabilita'

### Il vettore delle probabilita' teoriche e'
pt<- dbinom(0:5,5,0.5)

##### Verifica delle ipotesi sulla media di una popolazione normale
# Discutere se i seguenti dati derivano da una distribuzione normale
dati<- c(34.7, 35.4, 34.7, 37.7, 32.5, 28.0, 18.4, 24.9 )
# e costruire un test di livello 0.05 per verificare se la media
# della popolazione e' maggiore di 29

summary(dati)
par(mfrow=c(1,2))
boxplot(dati)
qqnorm(dati)
qqline(dati)

# funzione predefinita in R
# la varianza della popolazione non e' nota, ma occorre stimarla. 
# Quindi non si una lo z-test, ma il t-test.
# La statistica test e' ( \bar X-\mu)/ S/sqrt(n) 
# che segue una t-di-student con n-1 gradi di liberta'. 
# dove n e' la numerosita' campionaria.
t.test( dati, alternative='g', mu=29 )

# Costruzione manuale del valore osservato della statistica test
toss <- ( mean(dati)-29) - (sd(dati)/sqrt(8) )
toss
# da confrontare con il quantile di livello 0.95 di un t-di-student c
# con 7  gradi di liberta' (test monolaterale destro)
qt( 0.95, 7 )
#poiche' toss<qt( 0.95, 7 ), si accetta H0 contro l'alternativa HA

#Il p-value del test e'
1-pt(toss,7)
# e' sufficientemente alto da suggerire di accettare l'ipotesi nulla anche a livelli più alti di 0.05

# Costruzione dell'intervallo di confidenza al 95%
lim_inf<- mean(dati)-qt(0.95,7)*sd(dati)/sqrt(8)

#### ESERCIZIO: Nella pubblicita' di un certo modello d'auto americane si sostiene 
# che il consumo di benzina e' pari a 30 miglia per gallone. Nove auto di quel modello
# vengono guidate dalla stessa persona sullo stesso percorso con un serbatoio di un 
# solo gallone di bensina. La strada percorsa dalle 9 auto in miglia e'

miglia<-c( 29.4, 25.7, 26.6, 26.3, 26.0, 30.8, 26.2, 25.1, 25.9 )

# I dati raccolti supportano quando pubblicizzato?

t.test(miglia, alternativa=c("less"), mu=30)

# il valore della  statistica test e' t=-4.9115 cui corrsponde un p-value talmente
# piccolo che per ogni alpha ragionevole si rifuta l'ipotesi nulla.