------------------Syllabus 2023------------------


Questo sillabo contiene l’elenco di alcuni argomenti svolti nei corsi della
LT e costituisce il complesso delle nozioni che ogni studente deve
conoscere per poter seguire in modo proficuo un percorso nella Laurea
Magistrale presso il nostro Ateneo.

Il documento risulta suddiviso in 2 parti:

Parte A: argomenti che sono comuni a quasi tutti i laureati italiani nella
classe matematica o che comunque sono ritenuti necessari da recuperare,
indipendentemente dal curriculum scelto,
tramite studio personale o specifici esami stabiliti dalla commissione
ammissione alla LM.

Parte B: per ogni curriculum, riporta gli argomenti funzionali a seguire il
relativo percorso e pertanto da recuperare solo se è stato scelto quel
curriculum.

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PARTE A (indipendente dal curriculum)


Nozioni di

Elementi di teoria degli insiemi: funzioni, composizione e inverse.
Cardinalità, insiemi numerabili e più che numerabili. Relazioni di
equivalenza e insiemi quoziente.

Algebra:
Elementi di teoria dei gruppi: sottogruppi, omomorfismi, normalità e
quozienti, teorema di Lagrange. Azioni di gruppo. Elementi di teoria degli
anelli: ideali, anelli quoziente, ideali primi e
massimali. Anelli euclidei, ad ideali principali e fattoriali, anelli di
polinomi ed interi di Gauss. Numeri complessi, estensioni di campi, nozioni
di elemento algebrico e di polinomio minimo.

Algebra Lineare:
Matrici, determinante, caratteristica e sistemi lineari. Spazi e sottospazi
vettoriali, applicazioni lineari, omomorfismi, autovalori, autovettori e
diagonalizzazione. Spazi vettoriali euclidei,
ortogonalizzazione, diagonalizzazione di matrici simmetriche reali. Forme
bilineari e quadratiche.

Geometria:
Geometria analitica nel piano e nello spazio: vettori, piani e rette;
accenni a curve e superfici differenziabili nello spazio. Coniche e
quadriche affini e proiettive.
Spazi metrici e topologici; continuità, omeomorfismi; assiomi di
separazione; prodotti e quozienti di spazi topologici; connessione;
compattezza. Omotopia di funzioni continue; spazi omotopicamente
equivalenti e gruppo fondamentale di uno spazio topologico.

Analisi:
Limiti, continuità, calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e
più variabili reali, compresi i principali teoremi sul calcolo vettoriale e
le lunghezze di curve e aree di superfici.

Fisica e Fisica Matematica:
Elementi di fisica generale. Elementi di meccanica analitica. Introduzione
alla teoria della stabilità.

Analisi Numerica:
Teoria degli errori e aritmetica di macchina. Soluzione numerica di sistemi
lineari. Approssimazione ai minimi quadrati di dati discreti.

Probabilità:
Assiomi del calcolo delle probabilità e modellistica dei fenomeni aleatori,
probabilità condizionata e indipendenze variabili e vettori aleatori e
principali distribuzioni, densità condizionata.
Convergenze di successioni di variabili aleatorie.

Introduzione alla programmazione; implementazione di semplici algoritmi in
linguaggi di programmazione.

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PARTE B (Matematica Generale)

Elementi di base sulle varietà topologiche, sulle curve proiettive e sulle
superfici di Riemann.

Elementi di base sulle funzioni olomorfe, sugli spazi normati, di Hilbert e
sugli operatori lineari.

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PARTE B (Matematica Applicata)

Decomposizione ai valori singolari. Soluzione numerica di equazioni
differenziali ordinarie.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, equazioni non lineari e minimizzazione
di forme quadratiche.
Approssimazione di funzioni, integrazione numerica. Trasformata di Fourier Discreta (DFT).

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