. Si consideri la funzione 

>	f:=(x,y)->4-x^2-y^2;

 

(1)

 

il cui grafico in un intorno del punto (1,0) e` 

>	plot3d(f,0..2,-1..1,grid=[50,50],style=surface,axes=boxed);

 

memorizziamo questo grafico in un registro F, per poi poter aggiungere altri grafici senza riscivere tutto 

>	F:=plot3d(f,0..2,-1..1,grid=[50,50],style=surface,axes=boxed);

 

(2)

 

Calcoliamo a mano il gradiente nel punto (1,0), oppure carichiamo il pacchetto MultivariateCalculus e facciamoci calcolare il gradiente in (1,0) 

>	with(Student[MultivariateCalculus]): H:=Gradient(f(x,y),[x,y]=[1,0]);

 

(3)

 

Ne ricaviamo l'equazione del piano tangente in (1,0), che riportiamo in un grafico insieme a F; il vettore (-2,0,-1) e` normale al piano; 

>	piano_tg:=(x,y)->f(1,0)-2*(x-1);

 

(4)

 

>	T:=plot3d(piano_tg,0..2,-1..1,color=red,style=surface): with(VectorCalculus): vs1:=VectorSpace('cartesian'[x,y,z], [1,0,3]): V:=PlotVector(vs1:-Vector([-2,0,-1]),color=red): with(plots):display({F,T,V});

 

Tagliamo ora con il piano orizzontale a altezza f(1,0), ottenendo una curva 

>	Or:=plot3d(f(1,0),0..2,-1..1,color=blue,style=surface): S:=implicitplot3d(f(x,y)=f(1,0), x=0..2, y=-1..1, z=2.9..3.1,style=wireframe,color=black): display({F,T,V,Or,S});

 

L'intersezione tra i due piani e` una retta che risulta tangente alla curva; il gradiente (proiezione sui primi due fattori del vettore normale al piano) 

sara` quindi ortogonale a questa retta. Proiettando nel piano xy, otteniamo che il gradiente in un punto e` ortogonale alla linea di livello per quel punto. Puo` essere necessario caricare il pacchetto piu` volte, qualche volta da` errore. 

>

with(Student[VectorCalculus]); tv:=TangentVector(<cos(t), sin(t), 3>, t, 'output'=plot, 'range'=-Pi/2 .. Pi/2, 'vectors'=1,vectoroptions=[color=black]): nv:=PrincipalNormal(<cos(t), sin(t), 3>, t, 'output'=plot, 'range'=-Pi/2 .. Pi/2, 'vectors'=1,vectoroptions=[color=magenta],                    curveoptions=[color=black]): display({F,T,V,Or,S,tv,nv});

 

>	tv0:=TangentVector(<cos(t), sin(t), 0>, t, 'output'=plot, 'range'=-Pi/2 .. Pi/2, 'vectors'=1,vectoroptions=[color=black]): nv0:=PrincipalNormal(<cos(t), sin(t), 0>, t, 'output'=plot, 'range'=-Pi/2 .. Pi/2, 'vectors'=1,vectoroptions=[color=magenta]): display({F,T,V,Or,S,tv,nv,tv0,nv0});

 

>