Titoli ed Abstracts


Davide Bolognini - The structure of proper divisibility poset

In this paper we define the relation order given by proper divisibility, inspired by the definition of the Buchberger graph of a monomial ideal. From this relation arises a large class of new posets. Surprisingly, the order complexes of these posets are homologically non-trivial. We prove that these posets are  dual CL-shellable, we completely describe their homology (with Z coefficients), we compute their Euler characteristic using generating functions. Moreover this relation gives the first example of a dual CL-shellable poset that is not CL-shellable. Joint work with A.Macchia, E.Ventura and V.Welker.

Alessio Caminata - La funzione di Hilbert-Kunz generalizzata in dimensione graduata due

Sia k un campo, e sia R una k-algebra graduata standard. La funzione e la molteplicità di Hilbert-Kunz generalizzate sono state introdotte da Dao e Smirnov come estensione della funzione e della molteplicità di Hilbert-Kunz classiche ad ideali che non sono necessariamente R_+-primari. In questo seminario mi concentrerò sul caso due-dimensionale e presenterò un teorema di struttura sulla forma della funzione di Hilbert-Kunz generalizzata che estende un risultato dimostrato da Brenner per la funzione di Hilbert-Kunz classica. In particolare otterrò come conseguenza che la molteplicità di Hilbert-Kunz generalizzata è razionale. I risultati sono parte di un lavoro in collaborazione con Holger Brenner.
Giulio Caviglia - Consecutive cancellations

 In recent years, Rossi and Sharifan have proved an analogous version, for regular local rings, of Peeva's consecutive cancellation Theorem for graded Betti numbers of initial modules.
Rossi and Sharifan  showed that in the local case the Betti numbers of a module M can be obtained from the ones of its associated graded module by considering only consecutive cancellations that are negative with respect to the shifts.
I will discuss how to generalize both results and obtain consecutive cancellations for Hilbert functions of Tor modules.  For the graded case of Peeva, I will present a proof  of mine which shows that the cancellations needed are only the positive ones with respect a weight induced by the ordering. For the case of finitely generated modules over a local ring, I will discuss a theorem  which is due to Alessio Sammartano.

Alexandru Constantinescu - Non-pure O-sequences

A homogeneous ideal of height c is standard determinantal if it is generated by the maximal minors of a t×(t+c−1) homogeneous matrix. Using liaison theory we find a recursive formula for the Hilbert functions of such ideals. We prove that when the ideals are level, their h-vectors are log-concave pure O-sequences, and conjecture that this is also a necessary condition. Finally we show some computational applications to nonpure O-sequences.

Marco D'Anna - Una famiglia di quozienti dell'algebra di Rees

Presenterò una famiglia di quozienti dell'algebra di Rees, che generalizza sia la classica nozione di idealizzazione di Nagata che la duplicazione amalgamata di un anello. Molte proprietà algebriche sono comuni a tutti i membri della famiglia e dipendono soltanto dall'anello di partenza e dall'ideale rispetto a cui si costruisce l'algebra di Rees; questo fatto spiega, in particolare, perché
l'idealizzazione e la duplicazione hanno molte proprietà comuni.
I risultati presentati sono ottenuti in collaborazione con V. Barucci e F. Strazzanti.

Alessandro De Stefani - F-thresholds di k-algebre graduate standard

L’a-invariante, l’F-pure threshold, e la diagonal F-threshold sono tre importanti invarianti numerici che possono essere associati ad una k-algebra graduata standard in caratteristica positiva. Hirose, Watanabe e Yoshida hanno congetturato alcune relazioni tra questi tre invarianti per anelli strongly F-regular. In questo seminario, mostreremo che le relazioni congetturate sono vere, assumendo solamente che l’algebra sia F-pure. Inoltre, discuteremo un’interpretazione dell’a-invariante per k-algebre Gorenstein in termini della lunghezza massima di una sequenza regolare che preservi F-purity. I risultati che verrano presentati sono stati ottenuti in collaborazione con Luis Núñez-Betancourt.

Joan Elias - How far is an Artinian ring from being Gorenstein?

Teter in 1974 characterized  Artin  local rings A that are of the form G/soc(G) where G is a Gorenstein ring and soc(G) is its socle. These rings are known as  Teter rings.
In this  talk we give a new characterization, in the equicharacteristic case, of Teter rings by using Macaulay inverse systems. We extend the previous characterizations due to Teter, Huneke-Vraciu and Ananthnarayan-Avramov-Moore, to any characteristic of the ground field and removing some  hypothesis on the socle ideal.

Claudia Polini - Rees algebras of codimension three Gorenstein ideals

The Rees ring and the special fiber ring of an ideal arise in the process of blowing up a variety along a subvariety. Rees rings and special fiber rings also describe, respectively,  the graph and the images of rational maps between projective spaces.  A classical open problem in commutative algebra, algebraic geometry, elimination theory, and geometric modeling is to compute explicitly the equations defining the images of rational maps and therefore of such rings. In this talk we describe the solution to this problem for linearly presented grade three Gorenstein ideals. This is joint work with Andrew Kustin and Bernd Ulrich.

Marilina Rossi - Risoluzioni libere di moduli finitamente generati su anelli locali Gorenstein

In questa conferenza siamo interessati alle risoluzioni libere (infinite) di moduli su un anello locale Artiniano Gorenstein (R, m). Motivati dal Teorema di Auslander-Buchsbaum-Serre,  particolare interesse è rivolto alla risoluzione libera minimale di k=R/m come R-modulo. Se R è una intersezione completa, Gulliksen ha provato che la crescita dei numeri di Betti è polinomiale, ma il risultato non si estende ad un anello Gorenstein. La serie di Poincaré codifica in modo compatto queste informazioni e un problema posto da Serre e Kaplansky circa la sua razionalità rimane da molti anni uno dei problemi centrali di questa teoria.  Con L. Sega abbiamo provato che la serie di Poincaré di un modulo finitamente generato su un anello Gorenstein compresso di socle degree s diverso da 3 è razionale, in particolare le rispettive serie di Poincaré condividono  lo stesso denominatore, ossia l’anello è  “good” secondo una definizione data da Roos nel 2005. Il risultato sulla razionalità non si estende a s=3 per un esempio dato da Bogvad. E’ noto che anelli Gorenstein generici sono compressi. Come corollario si ottiene quindi che la serie di Poincaré nel caso di anelli Gorenstein generici è razionale. Il caso s=3 segue da un risultato ottenuto con A. Conca e G. Valla per il caso graduato e da un risultato ottenuto con J. Elias per il caso locale. 

Enrico Sbarra - Alcuni risultati sulla congettura Lex-Plus-Powers

La congettura di Eisenbud-Green-Harris e la congettura Lex-Plus-Power sono strettamente correlate e sono problemi aperti di interesse in Algebra Commutativa e Geometria Algebrica. In questo seminario mostreremo come, usando alcune disuguaglianze tra funzioni di Hilbert di moduli di coomologia locale e la tecnica degli embedding di posets di funzioni di Hilbert, abbiamo dimostrato l'analogo per la coomologia locale della congettura Lex-Plus-Power di Evans. Come corollario di questo risultato otteniamo la prova di alcuni nuovi casi della congettura originaria.

Laura Tozzo - Dualità dei semigruppi dei valori

A una curva singolare è possibile associare un semigruppo, detto semigruppo dei valori: se la singolarità ha s rami, la sua chiusura integrale è isomorfa a C[[t_1]]X...XC[[t_s]] e il semigruppo dei valori è il sottoinsieme di N^s definito dalle valutazioni della parametrizzazione della curva.
A ogni ideale frazionario sulla curva è associato un ideale di semigruppo. Esso soddisfa gli assiomi che definiscono la classe degli ideali di semigruppo buoni. Tra gli ideali di semigruppo buoni, hanno particolare rilevanza gli ideali di semigruppo canonici. In questo talk diamo una definizione intrinseca di tali ideali e mostriamo che sono caratterizzati da una dualità analoga alla dualità degli ideali canonici di un anello Cohen-Macaulay 1-dimensionale. Proviamo inoltre che le operazioni di dualizzazione e di passaggio al semigruppo dei valori commutano tra loro. Questo è un lavoro in collaborazione con Philipp Korell e Mathias Schulze.


Matteo Varbaro - Condizioni di Serre e positività dell’ h-vettore 

Se A è una K-algebra graduata standard, la serie di Hilbert di A può essere scritta come h(t)/(1-t)^d, dove d è la dimensione di Krull di A e h(t) = h_0 + h_1t + … + h_st^s è un polinomio a coefficienti interi. Il vettore dei coefficienti (h_0,…,h_s) è l’h-vettore di A. Come è ben noto, se A è Cohen-Macaulay, l’h-vettore di A ha coefficienti positivi. In questo seminario, discuteremo la seguente domanda:
“Se A soddisfa la condizione di Serre S_r, allora h_i >= 0 per ogni i <= r ?”
In generale, la domanda precedente ha risposta negativa. D’altra parte, se  K ha caratteristica 0 e Proj(A) è liscio, o se  K ha caratteristica positiva e A è F-puro, la risposta è si. L’ intento del seminario sarà soprattutto quello di discutere quali siano le ipotesi giuste da imporre sulle singolarità di Proj(A) affinché la positività richiesta possa sussistere. Questo seminario è basato su un lavoro in collaborazione con Hailong Dao e Kangjin Han.