2017/18, primo semestre                             Crediti: 3 (24 ore).

Docente: Marco Grandis

Contenuti: omologia singolare a coefficienti interi.

Obiettivi:   come ogni teoria d'omologia, l'omologia singolare associa ad uno spazio una successione di gruppi abeliani, traducendo proprietà topologiche in proprietà algebriche più semplici; questo consente di dimostrare vari risultati importanti, tra cui il teorema di invarianza della dimensione topologica.
    Il corso può essere tenuto in inglese, a seconda degli studenti frequentanti.

Prerequisiti: Geometria, Algebra 1 e 2.

PROGRAMMA

1. Definizioni di base. Cubi, facce e degenerazioni. L'insieme cubico singolare e il complesso delle catene cubiche normalizzate di uno spazio. Complessi di gruppi abeliani e loro omologia. Definizione dell'omologia singolare (cubica) e proprietà funtoriali. Primi calcoli d'omologia singolare. Il teorema di invarianza omotopica.

2. Calcolo dell'omologia singolare. Sequenze esatte. La sequenza esatta d'omologia di una sequenza esatta corta di complessi. Il teorema di suddivisione (senza dimostrazione). La sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia delle sfere, di varie superfici compatte e altri spazi topologici.

3. Applicazioni. Il teorema di invarianza della dimensione. Questioni sui retratti. Il teorema del punto fisso di Brouwer. Il grado di un'endomappa di sfere. Campi vettoriali sulle sfere. Estensioni del teorema dei valori intermedi.

4. Complementi. Richiami sul gruppo fondamentale. Cenni ai gruppi d'omotopia di grado superiore e al teorema di Hurewicz. Cenni all'omologia singolare con coefficienti in un gruppo abeliano.

TESTI DI CONSULTAZIONE

Note schematiche: in pdf (20 p.); coprono un programma più ampio, senza dimostrazioni.

(a) Topologia Algebrica

J. Vick, Homology Theory, Academic Press 1973.

W. Massey, Singular Homology Theory, Springer 1980.

W. Massey, Algebraic Topology, an Introduction, Harcourt 1967.

S. Eilenberg - N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton Univ. Press 1952.

A. Dold, Lectures on algebraic topology, Springer 1972.

E. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill 1966.

R. Brown, Topology, Ellis Horwood 1988.

S.T. Hu, Homotopy theory, Academic Press 1959.

A. Hatcher, Algebraic Topology, 2002. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/

(b) Algebra Omologica

H. Cartan - S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press 1956.

S. Mac Lane, Homology, Springer 1963.

C.A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Univ. Press 1994.

(c) Teoria delle Categorie

S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer 1971.

J. Adámek - H. Herrlich - G. Strecker, Abstract and concrete categories, Wiley Interscience Publ., 1990.

SPIEGAZIONI.   Lunedì ore 10-12.