2013/14, primo semestre.                             codice: 34325.                             Crediti: 7.

Docente: Marco Grandis

Contenuti: Teorie d'Omologia.

OBIETTIVI

    La Topologia Algebrica studia problemi topologici riconducendoli a problemi algebrici. Gli strumenti fondamentali sono le teorie d'omologia, che associano ad uno spazio X una successione di gruppi abeliani H_n(X), e la teoria d'omotopia, che associa ad uno spazio puntato X la successione dei gruppi d'omotopia π_n(X) (a partire dal gruppo fondamentale). Questi gruppi evidenziano la presenza di "cavità" di dimensione n nello spazio in questione, e permettono di dimostrare vari risultati importanti, tra cui il teorema di invarianza della dimensione topologica. I metodi utilizzati per la costruzione e lo studio delle teorie d'omologia formano l'Algebra Omologica e la teoria delle categorie abeliane.
    Il corso può essere tenuto in inglese, a seconda degli studenti frequentanti.

PREREQUISITI

Geometria 1 e 2, Algebra 1 e 2.

PROGRAMMA

1. Omologia singolare. Cubi, facce e degenerazioni. L'insieme cubico singolare e il complesso delle catene cubiche normalizzate di uno spazio. Complessi di gruppi abeliani e loro omologia. Definizione dell'omologia singolare (cubica) e proprietà funtoriali. Primi calcoli d'omologia singolare. Il teorema di invarianza omotopica.

2. Calcolo dell'omologia singolare. Sequenze esatte. La sequenza esatta d'omologia di una sequenza esatta corta di complessi. Il teorema di suddivisione. La sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia delle sfere. Applicazioni: il teorema di invarianza della dimensione, questioni sui retratti, il teorema del punto fisso di Brouwer, campi vettoriali sulle sfere, estensioni del teorema dei valori intermedi. Omologia di varie superfici compatte e altri spazi topologici.

3. Omologia singolare relativa e teorie d'omologia. Omologia singolare relativa. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod per le teorie d'omologia. Invarianza omotopica, esattezza ed excisione per l'omologia singolare relativa.

4. Prodotti tensori. Moduli, gruppi abeliani e spazi vettoriali. Il funtore Hom. Prodotti tensori di moduli: definizione, proprietà fondamentali, calcoli. Il prodotto di torsione di gruppi abeliani; sue proprietà di esattezza (senza dimostrazione).

5. Omologia singolare relativa a coefficienti in un gruppo. Definizione. Teorema di suddivisione. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod. La sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Calcoli e applicazioni. Cenni al teorema dei coefficienti universali.

6. Coomologia singolare relativa a coefficienti in un gruppo. Proprietà del funtore Hom. I complessi di cocatene. Definizione della coomologia. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod e la sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Cenni al teorema dei coefficienti universali.

7. Complementi. Richiami sugli spazi topologici puntati e il gruppo fondamentale. Gruppi d'omotopia di grado superiore, definizione e commutatività. Il teorema di Hurewicz (senza dimostrazione). Il gruppo libero generato da un insieme, il prodotto diretto libero e il pushout di gruppi. Il teorema di van Kampen (senza dimostrazione). Il gruppo fondamentale dello spazio "otto". Cenni schematici alla coomologia di de Rham per aperti euclidei e alla sua relazione con la coomologia singolare a coefficienti reali.

TESTI DI CONSULTAZIONE

Note schematiche: in pdf (20 p.)

(a) Topologia Algebrica

J. Vick, Homology Theory, Academic Press 1973.

W. Massey, Singular Homology Theory, Springer 1980.

W. Massey, Algebraic Topology, an Introduction, Harcourt 1967.

S. Eilenberg - N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton Univ. Press 1952.

A. Dold, Lectures on algebraic topology, Springer 1972.

E. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill 1966.

R. Brown, Topology, Ellis Horwood 1988.

S.T. Hu, Homotopy theory, Academic Press 1959.

A. Hatcher, Algebraic Topology, 2002. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/

(b) Algebra Omologica

H. Cartan - S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press 1956.

S. Mac Lane, Homology, Springer 1963.

C.A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Univ. Press 1994.

(c) Teoria delle Categorie

S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer 1971.

J. Adámek - H. Herrlich - G. Strecker, Abstract and concrete categories, Wiley Interscience Publ., 1990.

SPIEGAZIONI.   Lunedì ore 15-18. E ogni pomeriggio, compatibilmente con gli impegni occasionali.