a.a. 2012/13, II semestre, 7 crediti.

Docente: Marco Grandis.

PRESENTAZIONE

    La Teoria delle Categorie fornisce un'impostazione generale per lo studio delle strutture matematiche e delle 'costruzioni universali', nata storicamente nell'ambito della Topologia Algebrica e dell'Algebra Omologica. Varie costruzioni matematiche possono essere descritte e sintetizzate come funtori aggiunti di costruzioni ovvie.
    E' sottointeso che le nozioni introdotte vengono via via applicate alle strutture usuali di algebra, topologia e analisi funzionale elementare.
    Il corso è organizzato in cinque ore alla settimana, di cui una di esercizi. Gli esercizi sono svolti a turno dagli studenti, su temi preassegnati. L'esame consta di un seminario e un'interrogazione. Il corso pu˜ essere tenuto in inglese, a seconda degli studenti frequentanti.

PROGRAMMA

1. Categorie. Introduzione. Definizione di categoria e gruppoide. Categorie piccole. Isomorfismi, monomorfismi, epimorfismi, retratti. Oggetto iniziale e finale. Categoria opposta e dualità. Sottocategoria, categoria quoziente, prodotto cartesiano di categorie.

2. Funtori e trasformazioni naturali. Funtori e loro composizione; isomorfismi di categorie. Funtori fedeli e pieni, categorie concrete. Trasformazioni naturali e loro composizione verticale. Equivalenza di categorie ed equivalenza aggiunta; il teorema di caratterizzazione. Categorie scheletriche. La composizione orizzontale delle trasformazioni naturali; la legge di scambio. Cenni alle 2-categorie. Funtori rappresentabili e lemma di Yoneda. Funtori controvarianti.

3. Limiti e problemi universali. Prodotti, equalizzatori, pullback; limite di un funtore. Categorie complete; teorema di costruzione e conservazione dei limiti. Colimiti. I funtori limite e colimite. Frecce universali; i limiti come caso particolare; categorie comma. Sottoggetti, sottoggetti regolari e normali; quozienti.

4. Funtori aggiunti. Definizione e teorema di caratterizzazione. Conservazione dei limiti. Composizione di aggiunzioni. Alcuni esempi rilevanti: strutture algebriche libere; abelianizzato di un gruppo; anelli di frazioni; limiti e colimiti; completamento di uno spazio metrico; fascio dei germi di un prefascio; compattificazione di Stone-Cech; prodotto tensore di moduli; realizzazione geometrica di un insieme simpliciale o cubico. Connessioni di Galois. Sottocategorie riflessive e coriflessive. Aggiunti fedeli e pieni. Il teorema di Freyd sull'esistenza dell'aggiunto.

5. Complementi. Strutture algebriche in una categoria cartesiana o monoidale. Monadi, algebre per una monade, categorie algebriche su di un'altra; esempi. Cenni alle categorie additive, esatte e abeliane. Cenni alle 2-categorie e bicategorie. Relazioni e span.

TESTI DI CONSULTAZIONE

Note schematiche in rete: in pdf (24 p.)

S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer 1971.

J. Adámek - H. Herrlich - G. Strecker, Abstract and concrete categories, Wiley Interscience Publ., 1990.
Online version: in pdf

F. Borceux, Handbook of categorical algebra. 1-2-3, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Math. J. 9 (1957), 119-221.

SPIEGAZIONI.   Lunedì ore 15-18. E ogni pomeriggio, compatibilmente con gli impegni occasionali.